Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(5，0)和點B（0，4）．

（1）求直線AB所對應的函數表達式；

（2）設直線y＝x與直線AB相交于點C，求△BOC的面積；

（3）若將直線OC沿x軸向右平移，交y軸于點O′，當△AB O′為等腰三角形時，直接寫出點O′的坐標．

Answer 1

【答案】(1)； (2)S△BOC=；(3) 點O′的坐標為（0，）或（0，-4）或（0，）.

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出直線AB所對應的函數表達式；
（2）聯立直線OC及直線AB所對應的函數表達式為方程組，通過解方程組可求出點C的坐標，再利用三角形的面積公式結合點B的坐標即可求出△BOC的面積；
（3）分AB=AO′，O′B=O′A，BA=BO′三種情況考慮：①當AB=AO′時，由等腰三角形的性質可得出OB=OO′，結合點B的坐標可得出點O′的坐標；②當O′B=O′A時，設OO′=x，則O′A=4+x，在Rt△AOO′中利用勾股定理可求出x的值，進而可得出點O′的坐標；③當BA=BO′時，利用勾股定理可求出BO′的值，結合點B的坐標可得出點O′的坐標．綜上，此題得解．

解：（1）∵A（5，0），B（0，4）

設AB表達式為：y=kx+b，將A，B坐標代入表達式 ，

解得：k=，b=4，

∴AB表達式為：.

(2) 聯立和y=x，

解得：y=x=

∴C(,)，

∴S△BOC==.

(3) 若△ABO′為等腰三角形，有三種情況

①當AB=AO時，由三線合一可得OB=OO′，

∵B（0，4），

∴O′（0，-4）；

②當O′B=O′A時，設OO′=x，

∴O′B=O′A=4+x，

∵OA=5,

∴在△OO′A中，OO′2+OA2=O′A2，

則x2+52=（4+x）2，

解得：x=，

∴O′（0，）；

③當BA=BO′時，設OO′=y，

∴O′B=AB=4+y，

∵OA=5,

∴在△ABO中，AO2+BO2=AB2，

則42+52=（4+y）2，

解得：y=，

∴O′（0，）

綜上：點O′的坐標為（0，）或（0，-4）或（0，）.