Question

【題目】如圖，在中，．于．為邊上的一個（不與、重合）點，且于相交于點．

（1）填空：______；______．

（2）當時，證明：．

（3）面積的最小值是_______．

（4）當的內心在的外部時，直接寫出的范圍______．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）；（4）．

【解析】

（1）根據銳角三角函數的定義以及三角形內角和定理，即可求解；

（2）由ASA，即可證明；

（3）由題意得：面積=AE2，當AE⊥BC時，AE=，進而即可求解；

（4）當的內心恰好落在AC上時，設的內心為N，易證是等邊三角形，此時，AE=2，進而即可得到結論．

（1）∵在中，，

∴，

∵，，

∴180°-90°-60°=30°．

故答案是：；

（2）于，

，

又∵，

，

，

，

又∵，

；

（3）∵=60°，

∴EF=AE，

∴面積= EFAE=AE2，

∴當AE的長最小時，面積的最小，即：AE⊥BC時，面積的最小．

∴AE的最小值=ABsin60°=2×=，此時，面積的最小值=．

故答案是：．

（4）當的內心恰好落在AC上時，設的內心為N，連接EN，

∵N是的內心，

∴AN平分∠EAF，EN平分∠AEF，

∴∠EAC=∠EAF=30°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=90°-30°=60°，

又∵∠B=60°，

∴是等邊三角形，

∴AE=AB=2，

∵為邊上的一個（不與、重合）點，由（1）可知，

∴當的內心在的外部時，．

故答案是：．