Question

【題目】（1）如圖 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 交 AC 于 F， 過點 F 作 DF∥BC， 求證：BD=DF．

（2）如圖 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 與∠ACB 的平分線 CF 相交于 F，過點 F 作 DE∥BC，交直線 AB 于點 D，交直線 AC 于點 E．那么 BD，CE，DE 之間存在什么關系？并證明這種關系．

（3）如圖 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分線 BF 與∠ACB 的外角平分線 CF 相交于 F，過點 F 作 DE∥BC，交直線 AB 于點D，交直線 AC 于點 E．那么 BD，CE，DE 之間存在什么關系？請寫出你的猜想．（不需證明）

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）BD+CE＝DE，證明過程見詳解；（3）BD﹣CE＝DE，證明過程見詳解

【解析】

（1）根據平行線的性質和角平分線定義得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根據等角對等邊推出即可；

（2）與（1）證明過程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結論；

（3）與（1）證明過程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結論．

解：（1）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴BD＝DF；

（2）BD+CE＝DE，

理由是：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴BD＝DF；

同理可證：CE＝EF，

∵DE＝DF+EF，

∴BD+CE＝DE；

（3）BD﹣CE＝DE．

理由是：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB＝∠CBF，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴BD＝DF；

同理可證：CE＝EF，

∵DE＝DF﹣EF，

∴BD﹣CE＝DE．