Question

如圖所示，拋物線y=mx²+8mx+12n與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），在第二象限內拋物線上的一點C，使△OCA∽△OBC，且AC：BC=

3

：1，若直線AC交y軸于P．
（1）當C恰為AP中點時，求拋物線和直線AP的解析式；
（2）若點M在拋物線的對稱軸上，⊙M與直線PA和y軸都相切，求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）設出拋物線y=mx²+8mx+12n與x軸交于A、B兩點的坐標，利用△OCA∽△OBC，證得△ABC為直角三角形，進一步求得P點坐標，利用待定系數法求得直線解析式；
（2）利用拋物線的對稱性，首先拋物線解析式及雙切線的性質求得點M橫坐標，再進一步利用三角形全等的性質和（1）所求直線解決問題．

解答：解：（1）設y=mx²+8mx+12n與x軸交于A、B兩點，A（x₁，0）、B（x₂，0），
在Rt△APO中，
∵C為AP中點，
∴OC=

1

2

AP=AC=CP，
∵△OCA∽△OBC，
∴

OC

OB

=

OA

OC

=

AC

BC

=

3

．
設AC=

3

k，BC=k，OA?OB=OC2=3k2，
∴OC=

3

k，PC=

3

k，OB=k，OA=3k，AB=2k，OP=

3

k．
在△ABC中，
∵BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，∠CAB=30°．
∵x1+x2=-BO-AO=-(AO+BO)=-

8m

m

=-8，
∴-k-3k=-4k=-8，
∴k=2．
∴A（-6，0），B（-2，0），
∴OP=2

3

，P(0，2

3

)．
設AP直線y=knx+2

3

，A（-6，0）代入得0=-6kn+2

3

，
∴kn=

3

3

，直線AP為y=

3

3

x+2

3

；

（2）如圖，
設拋物線的對稱軸為M₁M₂，由題意M₁到y軸距離M₁P₁=M₁N₁（N₁為M₁N₁⊥AP的垂足）．
同理M₂P₂=M₂N₂．
∵y=-

3

3

x2-

8 3

3

x-4

3

，
∴-

b

2a

=-4
∴M₁和M₂的橫坐標均為-4．
設M₁M₂與AP交于Q點，M₁N₁=M₂N₂=4=M₁P₁=M₂P₂=4，
∵OP=

3

k，AP=2

3

k，
∴∠PAO=30°，∠AQM₂=60°，
將Q點橫坐標-4代入直線AP方程：y=

3

3

×(-4)+2

3

=-

4 3

3

+

6 3

3

=

2 3

3

；
∵△M₁QN₁≌△M₂QN₂，
∴M1Q=M2Q=

4

3

×2=

8 3

3

．
∴M₁的縱坐標=

8 3

3

+

2 3

3

=

10 3

3

，
∴M1(-4，

10 3

3

)．
∴M₂點的縱坐標為(

8 3

3

-

2 3

3

)=

6 3

3

=2

3

的相反數-2

3

，
∴M₂（-4，-2

3

）．
綜上，拋物線：y=-

3

3

x2-

8 3

3

x-4

3

，直線AP：y=

3

3

x+2

3

，M1(-4，

10 3

3

)，M2(-4，-2

3

)．

點評：此題考查待定系數法求函數解析式，三角形相似的性質，二次函數的對稱性，雙切線的性質解決問題．