Question

【題目】已知二次函數y=ax2﹣9ax+18a的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），圖象的頂點為C，直線AC交y軸于點D．

（1）連接BD，若∠BDO=∠CAB，求這個二次函數的表達式；

（2）是否存在以原點O為對稱軸的矩形CDEF？若存在，求出這個二次函數的表達式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12；

(2)存在，理由見解析.

【解析】

（1）先用含a的代數式表示出頂點坐標，作CM⊥x軸于M，則OM=，CM=|﹣a|．令y=0求出A、B兩點坐標.通過證明△ODA∽△OBD，可求出OD的長，由CM∥OD，求出CM的長，從而可求出a的值；

（2）連接OC，則OC=OD．由平行線的判定與性質可證∠OCD=∠DCM．由∠AON的正弦值求得∠AON=30°，由正切函數求出CM的長，進而可求出a的值.

解：（1）∵y=ax2﹣9ax+18a=a（x﹣）2﹣a，

∴頂點C（，﹣a）．

作CM⊥x軸于M，則OM=，CM=|﹣a|．

當y=0時，ax2﹣9ax+18a=0，解得x1=3，x2=6，

∴A（3，0），B（6，0）．

∵∠BDO=∠CAB，∠CAB=∠DAO，

∴∠DAO=∠BDO．

在△ODA與△OBD中，

，

∴△ODA∽△OBD，

∴=，即=，

∴OD=3．

∵CM∥OD，

∴=，即=，

∴CM=，

∴|﹣a|=，

∴a=±，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12；

（2）存在．連接OC，則OC=OD．

∴∠ODC=∠OCD．

∵CM∥OD，

∴∠ODC=∠DCM，

∴∠OCD=∠DCM．

作AN⊥OC于N，AN=AM=．

∵sin∠AON===，

∴∠AON=30°，

∴CM=OMtan30°=×=，

∴|﹣a|=，

∴a=±，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣6x+12或y=﹣x2+6x﹣12．