Question

【題目】已知兩直線l1，l2分別經過點A（1，0），點B（﹣3，0），并且當兩直線同時相交于y正半軸的點C時，恰好有l1⊥l2，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l2交于點K，如圖所示．

（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數解析式；

（2）拋物線的對稱軸被直線l1，拋物線，直線l2和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數量關系？請說明理由；

（3）當直線l2繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數解析式為;（2）截得三條線段的數量關系為KD=DE=EF．理由見解析；（3）當點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．

【解析】

解：（1）∵l1⊥l2，

∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°，

又∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BCO=∠CAO,又∠COA=∠BOC=90°

∴△BOC∽△COA，

∴ ，

即，

∴，

∴點C的坐標是（0，），

由題意，可設拋物線的函數解析式為，

把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標分別代入，

得 ，

解這個方程組，得，

∴拋物線的函數解析式為．

（2）截得三條線段的數量關系為KD=DE=EF．

理由如下：

可求得直線l1的解析式為，直線l2的解析式為，

拋物線的對稱軸為直線x=-1，

由此可求得點K的坐標為（﹣1，），

點D的坐標為（﹣1，），點E的坐標為（﹣1，），點F的坐標為（﹣1，0），

∴KD=，DE=，EF=，

∴KD=DE=EF．

（3）當點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．

理由如下：

（i）連接BK，交拋物線于點G，易知點G的坐標為（﹣2，），

又∵點C的坐標為（0，），則GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，

∴△CGK為正三角形

∴當l2與拋物線交于點G，即l2∥AB時，符合題意，此時點M1的坐標為（﹣2，），

（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，

∴當l2過拋物線頂點D時，符合題意，此時點M2坐標為（﹣1，），

（iii）當點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，

但點A、C、K在同一直線上，不能構成三角形，

綜上所述，當點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．