Question

已知矩形ABCD中，AB=4，對角線BD=2AB，且BE平分∠ABD，點P從點D以每秒2個單位沿DB方向向點B運動，點Q從點B以每秒1個單位沿BA方向向點A運動，設運動時間為t秒，△BPQ的面積為S．
（1）若t=2時，求證：△DBA∽△PBQ；
（2）求S關于t的函數(shù)關系式及S的最大值；
（3）在運動的過程中，△BQM能否成為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當t=2時，根據(jù)P，Q的速度，我們可得出BP=2，BQ=1那么BP：BQ=2：1，而一直了BD=2AB，因此BP，BQ與BD，BA對應相等，△BPQ與△BDA又共用了這兩組對應邊的夾角，因此兩三角形相似；
（2）求三角形的面積就要知道三角形的底邊和高的長，根據(jù)P，Q的速度，我們可以用t表示出BP，BQ的長，如果過Q作BP邊的高，那么根據(jù)BQ和∠ABD的正弦值即可得出BP邊上的高是多少，然后可根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關系式；
（3）要按底角的不同來分類討論：
①當∠QBM，∠BMQ為等腰三角形的底角時，根據(jù)AE平分∠ABD，那么這兩個角就都應該是30°，此時△QBM的外角∠AQM=60°，就與∠ABD相等，顯然這種情況是不成立的；
②當∠QBM，∠BQM為等腰三角形的底角時，由于這兩個角都是30°，那么∠QPB就是個直角，那么我們可在直角△QPB中，我們可根據(jù)∠ABD的余弦函數(shù)得出BQ，BP的比例關系，然后我們可用t表示出BQ，BP即可得出t的值；
③當∠BQM，∠BMQ為等腰三角形的底角時，那么這兩個角就都應該是75°，我們可通過構建直角三角形來求t的值，過Q作QF垂直BD于F，那么我們可將三角形BQP分成兩個含特殊角的直角三角形，一個是含30°，60°角的直角三角形，一個是等腰直角三角形．那么我們可根據(jù)這些特殊角得出BQ，QF，BF，PF之間的關系，然后分別用t表示出來，根據(jù)BP=BF+PF，將等值的線段替換后即可得出t的值．

解答：解：（1）∵t=2，
∴BQ=2，PB=4，
∴

BQ

BA

=

BP

BD

，∠PBQ=∠PBQ，
∴△PBQ∽△DBA；

（2）過點Q作△PBQ的高h，
則S_△PBQ=

1

2

PB•h=-

3

2

t²+2

3

t=-

3

2

（t-2）²+2

3

，
∴當t=2時，Smax=2

3

；

（3）分三種情況討論：
①當∠QBM=∠BMQ=30°時，有：
∠AQM=60°=∠ABD，
∴PQ∥BD，
∴與題意矛盾，不存在；
②當∠QBM=∠BQM=30°時，如圖，則
BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=

16

5

≤4；
③當∠BQM=∠BMQ=75°時，如圖，
作QF⊥BP，則：PB=BF+PF=BF+QF=

1

2

t+

3

2

t=8-2t，
得：t=

16

3 +5

=

40-8 3

11

≤4，
∴當t=

16

5

或t=

40-8 3

11

時，△BQM成為等腰三角形．

點評：本題考查的知識點較多，要注意對（3）中底角不同時等腰三角形的不同來分情況的討論．