Question

【題目】已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．
（1）求證：ACAD=ABAE；
（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DE，

∵AE是直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

∴ACAD=ABAE

（2）解：連接OD，

∵BD是⊙O的切線，

∴OD⊥BD，

在RT△OBD中，OE=BE=OD，

∴OB=2OD，

∴∠OBD=30°，

同理∠BAC=30°，

在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

【解析】（1）連接DE，根據圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進而證得△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例即可求得結論；（2）連接OD，根據切線的性質求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據已知求得∠OBD=30°，進而求得∠BAC=30°，根據30°的直角三角形的性質即可求得AC的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．