Question

如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于F．
（1）求證：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求對角線BD的長．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質得CD=AD，∠CDP=∠ADP，證明△CDP≌△ADP即可；
（2）由菱形的性質得CD∥BA，可證△CPD∽△FPB，利用相似比，結合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可證A為BF的中點，又PA⊥BF，從而得出PB=PF，已證PA=CP，把問題轉化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；

（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴CD∥BA，CD=BA，
∴△CPD∽△FPB，
∴

DP

PB

=

CD

BF

=

CP

PF

=

1

2

，
∴CD=

1

2

BF，CP=

1

2

PF，
∴A為BF的中點，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=

1

2

PB，在Rt△PAB中，
PB²=2²+（

1

2

PB）²，
解得PB=

4

3

3

，
則PD=

2

3

3

，
∴BD=PB+PD=2

3

．

點評：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，菱形的性質及勾股定理的運用．關鍵是根據菱形的四邊相等，對邊平行及菱形的軸對稱性解題．