Question

（2013•海門市二模）如圖，一次函數y=mx+3+4m（m＜0）的圖象經過定點A，與x軸交于點B，與y軸交于點E，AD⊥y軸于點D，將射線AB沿直線AD翻折，交y軸于點C．
（1）用含m的代數式分別表示點B，點E的坐標；
（2）若△ABC中AC邊上的高為5，求m的值；
（3）若點P為線段AC中點，是否存在m的值，使△APD與△ABD相似？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出B、E兩點的坐標；
（2）由直線y=mx+3+4m經過定點A可得出定點A的坐標，再由AD⊥y軸可知D點坐標，根據圖形翻折變換的性質可CD=ED，故可得出CE的長，當點B在原點右邊時，S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE=

1

2

•CE•（AD+OB）可得出三角形的面積；當點B在原點左邊時，S_△ABC=S_△ACE-S_△BCE可得出三角形的面積；再根據AC邊上的高為5可得出AC的長，在Rt△ACD中根據勾股定理可求出m的值．
（3）①當點B在原點右邊時，只有△APD∽△ADB一種情形．因為AP=PD，所以AD=DB，再由OD的長可知OB的長，故可得出m的值；
②當點B在原點左邊時，若△APD∽△ABD時，AB=DB；若△APD∽△ADB時，根據AD=DB可得出m的值．

解答：解：（1）∵當y=0時，mx+3+4m=0，
∴x=-

4m+3

m

，
∴B（-

4m+3

m

，0）．
∵當x=0時，y=3+4m，
∴E（0，3+4m）；

（2）∵由直線y=mx+3+4m經過定點A，
∴定點A（-4，3）．
又∵AD⊥y軸，
∴D（0，3）．
由翻折可知：CD=ED=3-（4m+3）=-4m，
∴CE=2CD=-8m．
當點B在原點右邊時，
S_△ABC=S_△ACE+S_△BCE=

1

2

•CE•（AD+OB）
=

1

2

×（-8m）×[4+（-

4m+3

m

）]=

1

2

×（-8m）×（-

3

m

）=12．
當點B在原點左邊時，
S_△ABC=S_△ACE-S_△BCE=

1

2

×（-8m）×[4-

4m+3

m

]=

1

2

×（-8m）×（-

3

m

）=12．
∴S_△ABC=12是不變化的．
∵AC邊上的高為5，
∴

1

2

AC×5=12，
∴AC=

24

5

．
∵AD=4，∠ADC=90°，CD=-4m，
∴（-4m）²+4²=（

24

5

）²，解得 m=±

11

5

，
又∵m＜0，
∴m=-

11

5

；

（3）存在m的值，使△APD與△ABD相似．
①當點B在原點右邊時，只有△APD∽△ADB一種情形．
∵AP=PD，
∴AD=DB=4．
∵OD=3，∴OB=

7

，
∴-

4m+3

m

=

7

，解得 m=

7 -4

3

．
②當點B在原點左邊時，
若△APD∽△ABD時，AB=DB，∴-

4m+3

m

=-2，解得 m=-

3

2

．
若△APD∽△ADB時，AD=DB=4，
∵OD=3，
∴OB=

7

，
∴-

4m+3

m

=-

7

，解得m=-

4+ 7

3

．
∴存在m的值，使△APD與△ABD相似，m的值為

7 -4

3

或-

3

2

或-

7 +4

3

．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、圖形反折變換的性質、三角形的面積公式等相關知識，難度較大．