Question

【題目】某廠設計了一款成本為20元∕件的公益用品投放市場進行試銷．經過調查，得到如下數據：

銷售單價x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天銷售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）認真分析上表中的數據，用你所學過的函數知識確定一個滿足這些數據的y與x的函數關系，并求出函數關系式．

（2）設該廠試銷該公益品每天獲得的利潤為w元，當銷售單價x定為多少時，w有最大值？最大利潤是多少？

（3）當地民政部門規定，若該廠銷售此公益品單價不低于成本價且不超過46元/件時，該廠每銷售一件此公益品，國家就補貼該廠a元利潤（a＞4）。設日銷售利潤為m元，公司通過銷售記錄發現，m始終隨銷售單價x的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=-10x+800 （2）50元/件；9000元 （3）60≥a≥8

【解析】

（1）直接運用待定系數法根據統計表的數據就可以求出y與x之間的函數關系式；

（2）設工藝廠試銷該公益用品每天獲得的利潤是W元，先表示出每件的利潤為（x-20），再根據總利潤=單價利潤×銷售總量建立等式即可得出結論；

（3）設總利潤為m元，根據條件可以得出每件工藝用品的利潤為（x-20+a）元，再根據總利潤=銷售總價-成本總價建立函數關系式即可.

解：（1）設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，根據統計表得，

解得：，故函數關系式是y=-10x+800；

（2）設工藝廠試銷該公益用品每天獲得的利潤是W元，依題意得

W=（x-20）（-10x+800）=-10x2+1000x-16000=-10（x-50）2+9000

則當x=50時，W有最大值9000．

故當銷售單價定為50元∕件時，工藝廠試銷該公益用品每天獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．

（3）設日銷售利潤為m元，則每件工藝用品的利潤為（x-20+a）元，由題意，得

∵，

∴拋物線的開口向下，在對稱軸的左側m隨x的增大而增大，

∴時，m有最大值，

∵日銷售利潤m隨銷售單價x的增大而增大，且，

∴，解得，

又∵a＞4

∴．