Question

如圖，AB是⊙O的直徑，以OA為直徑的⊙O₁與⊙O的弦AC相交于點D．
（1）設弧BC的長為m₁，弧OD的長為m₂，求證：m₁=2m₂；
（2）若BD與⊙O₁相切，求證：BC=

2

AD．

Answer 1

分析：（1）連接OC，O₁D，根據已知條件和圓心角與圓周角的關系可以得到弧BC，弧OD所對的弧的度數相同，根據弧長公司計算就可以證明結論；
（2）利用切線的性質和直徑所對的圓周角是90°可以證明∠CBD=∠CAB，然后證明△ACB∽△BCD，再根據相似三角形的性質對應邊成比例得到BC²=AC•CD，而OD⊥AC，據垂徑定理知道D是AC的中點，這樣就可以證明題目結論．

解答：證明：（1）連接OC，O₁D．
∵∠COB=2∠CAB，∠DO₁O=2∠DAO，
∴∠COB=∠DO₁O記∠COD的度數為n，
則∠DO₁O的度數也為n，
設⊙O₁的半徑為r，⊙O的半徑為R，
由題意得，R=2r，
∴m₁=

nπR

180

=

2nπr

180

=2m₂．

（2）連接OD，
∵BD是⊙O₁的切線，
∴BD⊥O₁D．
∴∠BDO₁=90°．
而∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADO₁=∠CBD，
又∵∠DAO₁=∠ADO₁，
∴∠DAO₁=∠CBD，
∴△ACB∽△BCD
∴

AC

BC

=

BC

CD

∵AO是⊙O₁的直徑，
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中點，即AC=2CD=2AD．
∴BC²=AC•CD=2AD²，
∴BC=

2

AD．

點評：此題主要利用了垂徑定理，切線的性質定理，圓的弧長公式，利用它們構造相似三角形相似的條件，然后利用相似三角形的性質解決問題．