Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，點E、F、G分別在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG為鄰邊作□EFGH，設AG＝．

（1）直接寫出點H到AD的距離；

（2）若點H落在梯形ABCD內或其邊上，求△HGD面積的最大值與最小值；

（3）當為何值時，△EHC是等腰三角形．

Answer 1

    解：(1)點H到AD的距離為2;         

        (2)∵△HGD中GD邊上的高為2

            ①當△HDG面積取得取大值時，底邊GD最大,

               此時點G與點A重合，如圖1，

               ∴GD=AD=14  ∴S_△HGD的最大值是14.

             圖1                          圖2

            ②當△HGD面積取得最小值時，底邊GD最小.

               此時點H在CD邊上，如圖2， 

               過C作CP⊥AD于P,DP=AD-AP=AD-BC=6

               又∵CP=AB=6  ∴∠D=45°             

               過點H作HM⊥AD于M,則MD=MH=2

               顯然△HMG≌△FBE ∴GM=BE=3

               ∴GD=GM+MD=5 ∴S_△HGD的最小值是5

                                            

  、

  (3)過H作HN⊥BC于N，如圖3顯然Rt△FAG≌Rt△HNE

           ∵EC=BC-BE=5  HN=FA=AB-FB=4,EN=AG=x

           ∵△EHC是等腰三角形

           ①當EH=EC時,EH=5,HN=4 ∴EN=3 即x=3 

           ②當HC=EC時,HC=5,HN=4 ∴NC=3

             EN=EC-NC=2  即x=2            

           ③當EH=HC時,EN=NC=EC=2.5    

               綜上所述，當x=2或2.5或3時，

               △EHC是等腰三角形