Question

【題目】如圖1，在等腰中，為中線，將線段繞點逆時針旋轉；得到線段連接交直線于點，連接．

（1）若，則 ；

（2）若是鈍角時，

①請在圖2中依題意補全圖形，并標出對應字母；

②探究圖2中的形狀，并說明理由；

③若則 ．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①見解析；②是等腰直角三角形，理由見解析；③

【解析】

（1）根據等腰△ABC的性質可得∠BAD的角度，從而得出∠ABD的角度；在等腰△ABE中，可推導得出∠ABE的大小，從而得出∠FBC；

（2）①根據題干要求補全圖形即可；

②如下圖，根據等腰△FBC的性質可得到△FAB≌△FAC，從而得∠FBA=∠FCA，再根據旋轉特點，可得∠FBA=∠AFB，最后利用Rt△AEC和△CEF之間的角度轉化可得∠EFC=90°，從而得出三角形形狀；

③在Rt△AEC中，可求得EC的長，再在Rt△BFC中求得FC的長，最后在Rt△EFC中得出EF的長.

（1）∵AE是AC繞點A逆時針旋轉90°所得

∴∠CAE=90°，CA=AE

∵AB=AC，

∴AB=AE

∵∠BAC=30°，AD是等腰三角形的中線

∴∠BAD=∠DAC=15°，AD⊥BC

∴∠BAE=120°

∴在△ABE中，∠ABE=∠E=30°

在△ADB中，∠ABD=75°

∴∠FBC=45°

（2）①如下圖：

是等腰直角三角形

②是等腰直角三角形，理由如下

.

是的垂直平分線

又

由旋轉可知，又.

又

即.

又.

為等腰直角三角形

③∵AB=5，

∴AC=5

∵△ACE是等腰直角三角形

∴可得：AE=5，EC=

∵BC=8

∴在等腰直角三角形FBC中，FB=FC=4

∴在Rt△EFC中，EF=