Question

【題目】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，D為△ABC外一點(diǎn)，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

（1）求證：DE=AE+BC .

（2）若，求線段AE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）1

【解析】

（1）連接CD，利用垂直平分線的判定即可得CD垂直平分AB，再利用三線合一得到∠ACD=∠ACB，然后證出△ECD為等腰直角三角形得到DE=EC即可.

（2）先證△CAD≌△CBD，可得S △CAD= S△CBD=，再利用三角形的面積和高求出底AC，再利用（1）的結(jié)論就可求出AE.

（1）連接CD

∵AC=BC，AD=BD

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在AB垂直平分線上

∴CD垂直平分AB

∴CD平分∠ACB

∵∠ACB=90°

∴∠ACD=∠ACB=45°

∵DE⊥AC

∴△ECD為等腰直角三角形，DE=EC

∵EC=AE＋AC= AE＋BC

∴DE=AE+BC.

（2）在△CAD和△CBD中

∴△CAD≌△CBD（SSS）

∴S△CAD= S△CBD=

∵DE=3

∴AC=2 S△CAD÷DE=2

∵DE= EC=AE+AC

∴AE= DE－AC=1