Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B、C兩點），將 ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將 CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，直線PE交CD于點N，連接MA，NA.則以下結論中正確的個數有（ ）.

① CMP∽ BPA；
②四邊形AMCB的面積最大值為10；
③當P為BC中點時，AE為線段NP的中垂線；
④線段AM的最小值為2 ；
⑤當 ABP≌ AND時，BP=4 -4.
A.①②③
B.②③⑤
C.①④⑤
D.①②⑤

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正確，
設PB=x，則CP=4-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴= ，
∴CM=x（4-x），
∴S四邊形AMCB=[4+x（4-x）]×4=-x2+2x+8=-（x-2）2+10，
∴x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，
易證得△ADN≌△AEN，當PB=PC=PE=2時，設ND=NE=y，
在RT△PCN中，（y+2）2=（4-y）2+22解得y= ，
∴NE≠EP，故③錯誤，
作MG⊥AB于G，
∵AM== ，
∴AG最小時AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x（4-x）=（x-2）2+3，
∴x=2時，AG最小值=3，
∴AM的最小值==5，故④錯誤．
∵△ABP≌△ADN時，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點K使得AK=PK，設PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=z，
∴z+z=4，
∴z=4-4，
∴PB=4-4，故⑤正確．
故正確的為①②⑤．
故選D.
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．