Question

【題目】閱讀下面材料：數學課上，老師出示了這祥一個問題：

如圖，在正方形ABCD中，點F在AB上，點E在BC延長線上。且AF=CE，連接EF，過點D作DH⊥FE于點H，連接CH并延長交BD于點0，∠BFE=75°.求的值.某學習小組的同學經過思考，交流了自己的想法：

小柏：“通過觀察和度量，發現點H是線段EF的中點”。

小吉：“∠BFE=75°，說明圖形中隱含著特殊角”；

小亮：“通過觀察和度量，發現CO⊥BD”；

小剛：“題目中的條件是連接CH并延長交BD于點O，所以CO平分∠BCD不是己知條件。不能由三線合一得到CO⊥BD”；

小杰：“利用中點作輔助線，直接或通過三角形全等，就能證出CO⊥BD，從而得到結論”；……；

老師：“延長DH交BC于點G，若刪除∠BFB=75°，保留原題其余條件，取AD中點M，連接MH，如果給出AB，MH的值。那么可以求出GE的長度”.

請回答：(1)證明FH=EH；

(2)求的值；

(3)若AB=4.MH=，則GE的長度為_____________.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ；（3）

【解析】

（1）如圖1，連接DE，DF,證明△DAF≌△DCE（SAS）即可解決問題；
（2）如圖2，連接BH,先證出BH=EF，再證ΔBHC≌ΔDHC，得到∠HOB=90°，OC⊥BD，∠HBO=30°，得出OH=BH，即可解決問題；
（3）如圖3，連接OA，作MK⊥OA于K．首先證明OH=HC，利用平行線分線段成比例定理求出CG，再利用相似三角形的性質解決問題即可．

（1）如圖1，

連接DE，DF

∵正方形ABCD

∴AD=CD=CB=AB

∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°

∴∠DCE=∠A=90°

∴在ΔFAD和ΔECD中

∴ΔDAF≌ΔDCE(SAS)

∴DF=DE

∵DH⊥EF

∴FH=EH

(2)如圖2，連接BH,

∵ΔFAD≌ΔECD

∴∠ADF=∠CDE

∵∠ADC=90°=∠ADF+∠FDC

∴∠EDC+∠FDC=90°

∴∠FDE=90°

∴DH=EF=EH=FH

∵∠FBC=90°

∴BH=EF=EH=FH

∴BH=DH

∴在ΔBHC和ΔDHC中

∴ΔBHC≌ΔDHC（SSS）

∴∠BCH=∠DCH

∴OC⊥BD

∴∠HOB=90°

∵BH=FH，∠BFE =75°

∴∠FBH=∠BFH=75°

∵正方形ABCD

∴∠ABD=45°，∠HBO=30°

∴OH=BH

∴；

（3）解：如圖3，連接OA，作MK⊥OA于K．

由（2）可知：A，O，C共線，
∴∠MAK=45°，
∵AM=MB=2，

∵CG∥AB，

由△EHG∽△BCG，可得