Question

【題目】如圖，y軸上有一點A（0，1），點B是x軸上一點，∠ABO＝60°，拋物線y＝﹣x2++3與x軸交于C、D兩點（點C在點D的左側）．

（1）將點C向右平移個單位得到點E，過點E作直線l⊥x軸，點P為y軸上一動點，過點P作PQ⊥y軸交直線l于點Q，點K為拋物線上第一象限內的一個動點，當△ABK面積最大時，求KQ+QP+PE的最小值，及此時點P的坐標；

（2）在（1）的條件下，將線段PE繞點P逆時針旋轉90°后得線段PE′，問：在第一象限內是否存在點S，使得△SPE'是有一個角為60°，且以線段PE′為斜邊的直角三角形，若存在請直接寫出所有滿足條件的點S，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）7，(0，)；（2）存在，S2(，)，S3(，)，S4(，)

【解析】

（1）解直角三角形求出OB，求出直線AB的解析式，構建方程組轉化為一元二次方程，利用△＝0，確定點K的坐標，如圖1中，點K向右平移一個單位得到K′（2，3），連接K′E，則KQ+QP+PE的最小值＝K′E+QP，再求出EK′的解析式即可求出點P的坐標．

（2）由（1）可知E（﹣1，0），P（0，），將PE繞點P逆時針旋轉90°得到PE′，可得E′（，﹣1），以PE′為邊作等邊三角形PE′N，等邊三角形PE′M，可得M（0，﹣2），N（，+1），此時四邊形PME′N是菱形，取各邊的中點S1，S2，S3，S4，可得△PE′S1，△PE′S2，△PE′S3，△PE′S4都是含有60°且以PE′為斜邊的直角三角形，再根據點S在第一象限，即可解決問題．

解：（1）由題意在Rt△AOB中，∵OA＝1，∠ABO＝60°，

∴BO＝OA＝，

∴B（，0），

設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（0，1），B（，0）代入可得

，解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，

對于拋物線y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得到x2﹣x﹣3＝0，解得x＝，

則C（，0），D（，0），

將點C向右平移個單位得到E（﹣1，0），

設平行于AB的解析式為y＝﹣x+m，

由，

消去y得到﹣x2+2x+3﹣m＝0，

由△＝0得到m＝﹣4，xk＝﹣1，yk＝3，

則K（1，3），

如圖1中，點K向右平移一個單位得到K′（2，3），連接K′E，

則KQ+QP+PE的最小值＝K′E+QP＝，

∵E（﹣1，0），K′（2，3），

∴直線EK′的解析式為y＝x+，

∴P（0，）．

（2）如圖2中，

由（1）可知E（﹣1，0），P（0，），將PE繞點P逆時針旋轉90°得到PE′，可得E′（，﹣1），

以PE′為邊作等邊三角形PE′N，等邊三角形PE′M，

可得M（0，﹣2），N（，+1），此時四邊形PME′N是菱形，取各邊的中點S1，S2，S3，S4，可得△PE′S1，△PE′S2，△PE′S3，△PE′S4都是含有60°且以PE′為斜邊的直角三角形，

∵點S在第一象限，

∴滿足條件的點S2（，），S3（，），S4（，）．