Question

【題目】已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．連接AD，BC，點H為BC中點，連接OH．

（1）如圖1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的長；

（2）將△COD繞點O旋轉一定的角度到圖2所示位置時，線段OH與AD有怎樣的數量和位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）OH＝AD，OH⊥AD，證明見解析

【解析】

（1）利用勾股定理求出BC，根據直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題；

（2）如圖2中，結論：OH＝AD，OH⊥AD．延長OH到E，使得HE＝OH（倍長中線構造全等三角形），連接BE，由△BEO≌△ODA即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，

∴OB＝AB＝4，OC＝CD＝，

∴BC＝＝＝，

∵在Rt△BOC中，點H為線段BC的中點，

∴OH＝BC＝；

（2）解：結論：OH＝AD，OH⊥AD，如圖2中，延長OH到E，使得HE＝OH，連接BE，

∵點H是BC中點，

∴BH＝CH，

∵∠EHB＝∠OHC，

∴△BEH≌△COH（SAS），

∴OH＝EH，BE=CO，∠EBC＝∠BCO，

∴OH＝OE，

∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，

∵BE=CO，OC＝OD，

∴BE=OD，

∵OB＝OA，BE＝OD，

∴△BEO≌△ODA（SAS），

∴OE＝AD，

∴OH＝OE＝AD

∵△BEO≌△ODA，

∴∠EOB＝∠DAO

∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，

∴OH⊥AD．