Question

【題目】拋物線C1：y=a（x+1）（x﹣3a）（a＞0）與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，﹣3）
（1）求拋物線C1的解析式及A，B點坐標；
（2）求拋物線C1的頂點坐標；
（3）將拋物線C1向上平移3個單位長度，再向左平移n（n＞0）個單位長度，得到拋物線C2 ， 若拋物線C2的頂點在△ABC內，求n的取值范圍． （在所給坐標系中畫出草圖C1）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C1：y=a（x+1）（x﹣3a）y軸交于點C（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3a），

解得a=1（舍去負值）．

∴拋物線C1的解析式為：y=（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）解：∵y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4，

∴該拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，則該拋物線的頂點坐標為（1，﹣4）

（3）解：將（1）中求得的拋物線向上平移3個單位長度，

再向左平移n（n＞0）個單位長度得到新拋物線y=（x﹣1+n）2﹣1，

∴平移后拋物線的頂點坐標是（1﹣n，﹣1），

∴﹣ ＜1﹣n＜2，

解得﹣1＜n＜ ，

∵n＞0，

∴0＜n＜ ．

【解析】（1）根據已知點的坐標代入已知的函數的解析式即可利用待定系數法確定二次函數的解析式；（2）由（1）中的函數解析式即可求出拋物線C1的頂點坐標；（3）首先根據平移確定平移后的函數的解析式，然后確定拋物線C2的頂點坐標；結合圖形確定n的取值范圍即可．
【考點精析】利用二次函數圖象的平移和拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．