Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，和均為等邊三角形，直線AD和直線BE交于點F．

填空：①的度數是____；②線段AD，BE之間的數量關系為________；

（2）類比探究

如圖2，和均為等腰直角三角形，，直線AD和直線BE交于點F．請判斷的度數及線段AD，BE之間的數量關系，并說明理由，

（3）如圖3，在中，，點D在AB邊上，， ，將繞著點A在平面內旋轉，請直接寫出直線DE經過點B時，點C到直線DE的距離．

Answer 1

【答案】（1）①60；②；（2）∠AFB=45°，AD=BE；理由見解析；（3）±

【解析】

（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），即可解決問題；
（2）結論：∠AFB=45°，AD=BE．證明△ACD∽△BCE，可得 ，∠CBF=∠CAF，由此即可解決問題；

（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ACD=∠CBF，
設BC交AF于點O．
∵∠AOC=∠BOF，
∴∠BFO=∠ACO=60°，
∴∠AFB=60°，
故答案為60°，AD=BE．
（2）結論：∠AFB=45°，AD=BE．
理由：如圖2中，

∵∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，
∴∠ACD=45°+∠BCD=∠BCE，，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CBF=∠CAF，

∴AD=BE
∵∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB=∠ACB=45°．
（3）如圖3中，

∵AEB=∠ACB=90°，
∴A，B，C，E四點共圓，
∴∠CEB=∠CAB=30°，∠ABD=∠ACE，
∵∠FAE=∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴=cos30°= ，
∴EC=BD，
在Rt△ADE中，∵DE=，∠DAE=30°，
∴AE=DE=3，
∴BE==4，
∴BD=BE-DE=4-，
∴CE=BD=2-，
∵∠BEC=30°，
∴點C到直線DE的距離等于CEsin30°=-．
如圖4中，當D，EB在同一直線上時，同法可知BD=DE+EB=4+，CE=BD=2+，
點C到直線DE的距離等于CEsin30°=+．

綜上所述，點C到直線DE的距離等于±．