Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝，把△ABC沿直線BC向右平移得到△DEF.如果E是BC的中點，AC與DE交于P點，以直線BC為x軸，點E為原點建立直角坐標系．

(1)求△ABC與△DEF的頂點坐標；

(2)判斷△PEC的形狀；

(3)求△PEC的面積．

Answer 1

【答案】(1) A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，D(1，1)，E(0，0)，F(2，0)；(2)△PEC是等腰直角三角形；(3)S△PEC＝.

【解析】整體分析：

（1）根據勾股定理和平移的性質求出△ABC與△DEF的頂點到點E的距離或到點A的距離；（2）根據平移的性質得DE∥AB，即可判斷△PEC的形狀；（3）△PEC的面積等于兩條直角邊乘積的一半.

解：(1)連接AE，CD.

∵△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中點，

∴AE⊥BC，∴AE2＋CE2＝2CE2＝AC2，∴CE＝AC.

∵△DEF是由△ABC平移得到的，

∴CE＝AE＝BE＝CF＝CD＝AC＝×＝1，EF＝2CE＝2.

∴A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，D(1，1)，E(0，0)，F(2，0)．

(2)根據平移的性質，可知DE∥AB，

∴∠PEC＝∠B＝45°，∠EPC＝∠A＝90°，

∴△PEC是等腰直角三角形．

(3)S△PEC＝PC·PE＝PC2＝×CE2＝.

所以S△PEC＝.