Question

【題目】如圖，以平行四邊形的邊分別做等邊和等邊．

（1）求證：；

（2）求的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）60°

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質得出AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠ADC，根據等邊三角形的性質得出DC=DF，BC=BE，∠EBC=∠CDF=60°，求出AB=DF，BE=DA，∠ABE=∠FDA，根據SAS推出△ABE≌△FDA即可．

（2）連結EF，設∠ABC=α，則∠BCD=180°-α，通過圖形上角的關系，用α表示出∠FCE，∠ABE即可得到關鍵條件∠ABE=∠FCE，再用同（1）的方法證明△ABE≌△FCE，得到EF=AE，進一步得到AE=AF=EF，△AEF為等邊三角形求得=60°.

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠ADC，

∵△BCE和△CDF為等邊三角形，

∴DC=DF，BC=BE，∠EBC=∠CDF=60°，

∴AB=DF，BE=DA，∠ABE=∠FDA，

在△ABE和△FDA中

∴△ABE≌△FDA（SAS），

∴AE=AF．

（2）連結EF，設∠ABC=α，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BCD=180°-α，

∴∠FCE=360°-∠BCE-∠DCF-∠BC,D=360°-60°-60°-(180°-α)= 60°+α，

而∠ABE=∠CBE+∠ABC=60°+α，

∴∠ABE=∠FCE，

又∵△BCE和△CDF為等邊三角形，

∴EC=BE，CF=CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，

∴CF=AB，

在△ABE和△FCE中

,

∴△ABE≌△FCE(SAS),

∴EF=AE,

∴AE=AF=EF,

∴△AEF為等邊三角形，

∴=60°