Question

【題目】如圖，過半徑為2的⊙O外一點P，作⊙O的切線PA，切點為A，連接PO，交⊙O于點C，過點A作⊙O的弦AB，使AB∥PO，連接PB、BC．

（1）當點C是PO的中點時，

①求證：四邊形PABC是平行四邊形；

②求△PAB的面積．

（2）當AB＝2時，請直接寫出PC的長度．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②S△PAB＝;（2）2﹣2．

【解析】

（1）①連接OA、OB， 由切線的性質可得OA⊥PA，根據已知條件易得OA＝PO，在Rt△OAP中，求得∠POA＝60°，根據平行線的性質可得∠BAO＝∠POA＝60°，即可得△OAB是等邊三角形，所以AB＝OA，即AB＝PC，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可判定四邊形PABC是平行四邊形；②過點O作OE⊥AB，垂足為E，根據等邊三角形的性質及銳角三角函數求得OA＝2，OE＝，即可求得S△OAB＝ABOE＝，根據同底等高的兩個三角形的面積相等即可得S△PAB＝S△OAB＝；

（2）結合已知條件，根據勾股定理逆定理可得△OAB是直角三角形，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行的四邊形可得四邊形PABO是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得PO＝AB，即可得PC＝2﹣2．

（1）①證明：連接OA、OB，則有OA＝OB＝OC，

∵PA是⊙O的切線，

∴OA⊥PA，

∵點C是PO的中點，

∴PC＝OC＝PO，

∴OA＝PO，

∴在Rt△OAP中，sin∠APO＝＝，

∴∠APO＝30°，

∴∠POA＝60°，

∵AB∥PO，

∴∠BAO＝∠POA＝60°，

∴△OAB是等邊三角形，

∴AB＝OA，

∴AB＝PC，

∴四邊形PABC是平行四邊形；

②解：過點O作OE⊥AB，垂足為E，

∵△OAB是等邊三角形，

∴OA＝AB＝2，

∴OE＝OAsin60°＝2×＝，

∴S△OAB＝ABOE＝×2×＝，

∵AB∥PO，

∴S△PAB＝S△OAB＝；

（2）PC＝2﹣2，理由為：

∵OA＝OB＝2，AB＝2，

∴OA2+OB2＝AB2，

∴根據勾股定理逆定理可得，△OAB是直角三角形，即∠AOB＝90°，

∴OB∥PA，

∴四邊形PABO是平行四邊形，

∴PO＝AB，

∴PC＝2﹣2．