Question

求證：面積為S的矩形中任意三點（可以在矩形的邊界上）組成的三角形面積不超過

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S．

Answer 1

分析：利用三角形的面積求法與矩形的性質，比較面積大小，應分三種情況進行討論，①三角形一邊是矩形的一邊；②三個頂點在矩形上，三角形在矩形內部；③三個頂點都在矩形內部，利用圖形進行分析即可．

解答：證明：分如下三種情況：
（1）如圖，這時△ABE的面積是矩形面積的一半；

（2）過E作AB的平行線，
∵S_△FEM=

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EM×CG，S_矩形DEGC=GC×EG，
顯然△EFM的面積小于矩形

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DECG的面積，△BEM的面積小于矩形ABGE的面積，
所以△AEF的面積小于矩形

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ABCD的面積；

（3）過E、F、G分別作如圖所示的AB、BC的平行線，
這四條線構成一個小矩形，由已經證明的（1）、（2）兩種情況可知，△EFG的面積不大于這個小矩形的面積的

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，
即△EFG的面積小于矩形ABCD的面積的

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；
綜上，面積為S的矩形中任意三點（可以在矩形的邊界上）組成的三角形面積不超過

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S這一命題得證．

點評：此題主要考查了矩形的性質，利用三角形三個頂點位置不同進行分類討論是解決問題的關鍵．