Question

如圖，矩形EFGH的邊EF=6cm，EH=3cm，在?ABCD中，BC=10cm，AB=5cm，sin∠ABC=，點E、F、B、C在同一直線上，且FB=1cm，矩形從F點開始以1cm/s的速度沿直線FC向右運動，當邊GF所在直線到達D點時即停止．
（1）在矩形運動過程中，何時矩形的一邊恰好通過?ABCD的邊AB或CD的中點．
（2）若矩形運動的同時，點Q從點C出發沿C-D-A-B的路線，以cm/s的速度運動，矩形停止時點Q也即停止運動，則點Q在矩形一邊上運動的時間為多少s？
（3）在矩形運動過程中，當矩形與平行四邊形重疊部分為五邊形時，求出重疊部分面積S（cm²）與運動時間t（s）之間的函數關系式，并寫出時間t的范圍．是否存在某一時刻，使得重疊部分的面積S=16.5cm²？若存在，求出時間t，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=3/5，
∴BM=4，AM=3
①當GF邊通過AB邊的中點N時，
有BF=BM=2，
∴t₁=3（s）．
②當EH邊通過AB邊的中點N時，
有BE=BM=2
∴BF=2+6=8
∴t₂=8+1=9（s）．
③當GF邊通過CD邊的中點K時，
有CF=2
∴t₃=1+10+2=13（s）
綜上，當t等于3s或9s或13s時，矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點（每少一種情況扣1分）．

（2）點Q從點C運動到點D所需的時間為：
5÷（）=10（s）
此時，DG=1+14-10=5
點Q從D點運動開始到與矩形相遇所需的時間為：
∴矩形從與點Q相遇到運動停止所需的時間為：
從相遇到停止點Q運動的路程為：，＜6
即點Q從相遇到停止一直在矩形的邊GH上運動
∴點Q在矩形的一邊上運動的時間為：．（不交待理由扣1分）

（3）設當矩形運動到t（s）（7＜t＜11）時與平行四邊形的重疊部分為五邊形
則BE=t-7，AH=4-（t-7）=11-t
在矩形EFGH中，有AH∥BF
∴△AHP∽△BEP
∴=，
∴=，
∴PH=，
∴S=18-，
=-（t-11）²+18（7＜t＜11）
由對稱性知當11＜t＜15時重疊部分仍為五邊形
綜上S與t的函數關系式為：S=-（t-11）²+18（7＜t＜15且t≠11）
（t的取值范圍不正確扣2分）
把s=16.5代入得：16.5=-（t-11）²+18，
解得：t=9或13，
故當t=9或13時重疊部分的面積為16.5cm²．
分析：（1）何時矩形的一邊恰好通過?ABCD的邊AB或CD的中點，題目本身就不明確，到底是GF還是HE，經過了AB的中點還是CD的中點，所以必須分情況討論，即①當GF邊通過AB邊的中點②當EH邊通過AB邊的中點③當GF邊通過CD邊的中點
（2）點Q在矩形一邊上運動的時間為多少s，這里的“一邊”是哪一邊，必須分情況進行解釋，所以也有三種情況．
（3）設當矩形運動到t（s）（7＜t＜11）時與平行四邊形的重疊部分為五邊形，則BE、AH都可用含有t的式子表示出來．在矩形EFGH中易證△AHP∽△BEP根據對應線段成比例，可求出EP的長，因此面積可表示出來．
點評：此題在解答過程中，一定要注意分情況討論，另外還考查了二次函數的一些基本應用，考查比較全面，難易程度適中．