Question

【題目】對任意一個正整數m，如果m=k（k+1），其中k是正整數，則稱m為“矩數”，k 為m的最佳拆分點．例如，56=7×（7+1），則56是一個“矩數”，7為56的最佳拆分點．
（1）求證：若“矩數”m是3的倍數，則m一定是6的倍數；
（2）把“矩數”p與“矩數”q的差記為 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，則 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩數”p的最佳拆分點為t，“矩數”q的最佳拆分點為s，當 D（p，q）=30時，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若“矩數”m=k（k+1）是3的倍數，則k（k+1）是3的倍數，k是正整數，

當k為奇數時，k+1是偶數，則k（k+1）是能被3整除的偶數，故k（k+1）是6的倍數；

當k為偶數時，則k（k+1）是能被3整除的偶數，故k（k+1）是6的倍數，

綜上所述，若“矩數”m是3的倍數，則m一定是6的倍數

（2）解：根據題意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）﹣s（s+1）=30，

即t2+t﹣s2﹣s=30，

∴（t﹣s）（t+s+1）=30，

∵t，s是正整數，t＞s，

∴t﹣s，t+s+1是正整數，且t+s+1＞t﹣s，

∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，

∴ 或 或 或 ，

解得： 或 或 或 ，

∵t，s是正整數，

∴符合條件的是： 或 或 ，

∴ 或 = 或 = ，

∵ ，

∴ 的最大值是

【解析】（1）連續的兩個整數必是一奇數，一偶數，可分類證明；（2）可把新定義的規則轉化為已知的規則，用已知代數式表示新運算法則，根據30的因數分解規則，求出最大值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解因式分解的應用的相關知識，掌握因式分解是整式乘法的逆向變形，可以應用與數字計算、求值、整除性問題、判斷三角形的形狀、解方程．