Question

如圖，矩形OABC在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（0,4），C（2,0）．將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉135º，得到矩形EFGH（點E與O重合）．

（1）若GH交y軸于點M，則∠FOM=     ，OM=      ．
（2）將矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位．
①直線GH與x軸交于點D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH與矩形OABC重疊部分的面積為S個平方單位，試求當0＜t≤4－2時，S與t之間的函數關系式．

Answer 1

詳見解析.

解析試題分析：（1）由旋轉可得出∠AOF＝135°，再由矩形的內角為直角得到一個角為直角，利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度數，再由∠MOC為直角，由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度數；由∠MOF的度數為45°，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，可得出三角形OHM為等腰直角三角形，由OH＝MH＝2，利用勾股定理即可求出OM的長；
（2）①如圖所示，當AD與BO平行時，由AB與DO平行，利用兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形得到ABOD為平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等得到AB＝DO＝2，由平移可知：∠HEM＝45°，可得出∠OMD＝∠ODM＝45°，即三角形ODM為等腰直角三角形，得到OD＝OM，由OD的長求出OM的長，由三角形HEM為等腰直角三角形，且直角邊長為2，利用勾股定理求出EM的長，用EM-OM即可求出平移的距離，即為t的值；
②分三種情況考慮：（i）如圖1所示，當0＜t＜2時，重疊部分為等腰直角三角形，由平移的距離為t，得到等腰直角三角形直角邊為t，利用三角形的面積公式即可表示出S；（ii）如圖2所示，當時，重疊部分為直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面積公式表示出S即可；（iii）如圖3所示，當時，重疊部分為五邊形，由梯形面積-三角形面積，表示出S即可．
試題解析：
解：（1）如圖所示：

由旋轉可得：∠AOF＝135°，又∠AOC＝90°，
∴∠COF＝∠AOF-∠AOC＝45°，又∠MOC＝90°，
∴∠FOM＝45°，又OF∥HG，
∴∠OMH＝∠FOM＝45°，又∠H＝90°，
∴△OHM為等腰直角三角形，
∴OH＝HM＝2，
則根據勾股定理得：；
（2）①如圖所示：連接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，
∴四邊形ADOB為平行四邊形，
∴DO＝AB＝2，
由平移可知：∠HEM＝45°，
∴∠OMD＝∠ODM＝45°，
∴OM＝OD＝2，由平移可知：，∴矩形EFGH平移的路程；
②分三種情況考慮：
（i）如圖1所示，當0＜t≤2時，重疊部分為等腰直角三角形，此時OE＝t，則重疊部分面積

（ii）如圖2所示，當時，重疊部分為直角梯形，
此時

（iii）如圖3所示，當時，E點在A點下方，重疊部分為五邊形，此時 

綜上，．
考點：相似形綜合題；矩形的性質；平移的性質；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質．