Question

【題目】如圖（1），直線⊥軸于點P，Rt△ABC中，斜邊AB=5，直角邊AC=3，點A（0， ）在軸上運動，直角邊BC在直線上，將△ABC繞點P順時針旋轉90°，得到△DEF。以直線為對稱軸的拋物線經過點F。

（1）求點F的坐標（用含的式子表示）

（2）①如圖（2）當拋物線的頂點為點C時，拋物線恰好過坐標原點。求此時拋物線的解析式；

②如圖（3）不改變①中拋物線的開口方向和形狀，讓點A的位置發生變化，使拋物線與線段AB始終有交點M（， ）.

(ⅰ)求的取值范圍；

（ⅱ）變化過程中，當變成某一個值時，點A的位置唯一確定，求此時點M的坐標。

圖（1） 圖（2） 圖（3）

Answer 1

【答案】（1）點F的坐標為（，0）；（2）①；②（ⅰ） ；（ii）點M的坐標為（， ）

【解析】（1）由旋轉可知，PF=PC=|t |，當t時，OF=OP+PF=t+3，易知F（t+3，0）；

當時，OF=OP－PF= ，點F坐標為（，0）； 當時，OF= PF－OP=，點F坐標仍為點F坐標為（，0）

∴點F的坐標為（，0）

（2）①由拋物線的對稱性可知，PF=PO=3，又由旋轉PC=PF，故此時點C坐標為（3，3），設拋物線的解析式為，將原點坐標代入可得：

∴此時拋物線的解析式為

②由于拋物線形狀和對稱軸不發生改變，故可設拋物線解析式為，由于拋物線過點F（，0），代入可得： ，即此時拋物線為

（ⅰ）易求點B坐標為（3， ），由于，∴點B恒在拋物線頂點下方，只有點A在拋物線上或上方，拋物線與線段AB才有交點。

當從0開始增大時，PF增大，拋物線與軸左邊交點向左移動，拋物線與軸交點隨之上移，點M逐漸向點A靠攏，當拋物線過點A時， 取得最大值；而當從0開始減小時點F在O、P之間，由于拋物線隨著的減小向上移動，而點A向下移動，故點M會向點A靠攏，故當拋物線經過點A時， 取得最小值。將點A坐標代入拋物線，得：

∴。

（ⅱ）易求AB解析式為，將點M坐標代入直線與拋物線解析式可得：

消去，并化簡得： ，

由于當變成某一個值時，點A的位置唯一確定，所以上述關于的方程有兩個相等的實數根，從而有：

，

解得： （舍去）

代入AB解析式，可得：

所以，此時點M的坐標為（， ）

“點睛”此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：二次函數的性質，待定系數法確定拋物線解析式、二次函數的最值、一元二次方程的判別式，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵，解題時要注意用分類討論思想．