Question

如圖，一次函數y=x+2的圖象分別交軸、軸于A、B兩點，O₁為以OB為邊長的正方形OBCD的對角線的交點．兩動點P、Q同時從A點出發在四邊形ABCD上運動，其中動點P以每秒個單位長度的速度沿A→B→A運動后停止，動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動．AO₁交于軸于點E，設P、Q運動的時間為t秒．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）求出E點的坐標和S_△ABE的值；
（3）當Q點運動在折線AD→DC上時，是否存在某一時刻t（秒），使得S_△ABE：S_△APQ=4：3？若存在，請確定t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質即可求得C的坐標，再利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）根據待定系數法求得直線AO₁的解析式，求出E的坐標，根據三角形的面積公式即可求得三角形的面積；
（3）分0≤t≤2，2＜t≤3，兩種情況進行討論，利用相似三角形的性質，即可求解．
解答：解：（1）在y=x+2中，令y=0，則x=-2．令x=0，則y=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴BO=2，
∴OD=2，
∴C（2，2）．
設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則
∴
∴函數的解析式是：y=-x²+x+2；

（2）設直線AO的解析式為y=kx+m，
∵A（-2，0），O₁（1，1），
∴
∴
∴y=x+
∴E的坐標是（0，）；
∴BE=BO-EO=2-=．
∴S_△ABE=BE•AO=××2=．

（3）當0≤t≤2時，Q在AD上，P從A到B運動．
過P作PH⊥x軸于點H，
則AQ=2t，AP=t，
∴AH=PH=t，
∴S_△APQ=AQ•PH=•2t•t=t²．
∵S_△ABE：S_△APQ=4：3，
∴S_△APQ=1，
∴t²=1．
∵0≤t≤2，
∴t=1．
當2＜t≤3時，Q在DC上，P從B向A運動．延長AB、DC交于點F．
過Q作QM⊥AF于M，則∠F=∠BAD=45°，
∴MQ=QF．
∵DQ=2t-4，DF=AD=4，
∴QF=4-DQ=8-2t，
∴QM=（8-2t）．
又AP=2AB-t=4-t，
∴S_△APQ=AP•QM=（4-t）•（8-2t）=1
∴（4-t）²=1，
∵2＜t≤3，
∴4-t=1，
∴t=3，
故當t=1和3時，S_△ABE：S_△APQ=4：3．
點評：用待定系數法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法．