Question

【題目】如圖，直線交坐標軸于A、B兩點，直線AC⊥AB交x軸于點C，拋物線恰好過點A、B、C.

（1）求拋物線的表達式.

（2）當點M在線段AB上方的曲線上移動時，求四邊形AOBM的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

（1）由直線解析式可求出A、B兩點坐標，由AC⊥AB，可證明ΔAOC∽ΔBOA，根據相似三角形的性質可求出OC的長，即可得C點坐標，利用待定系數法即可得出拋物線的解析式；（2）過M點作MN⊥x軸，交直線AB于D點，設M點的橫坐標為a，可得出M點和D點坐標，進而求出MD的長，可得△ABM的面積，根據S四邊形AOBM=S△AOB+S△ABM可得關于a的二次函數，根據二次函數的性質即可求出四邊形AOBM面積的最大值；

（1）∵直線交坐標軸A、B兩點，

∴A（0，2）、B（4，0），

∴OA=2，OB=4，

∵AC⊥AB，OA⊥BC，

∴∠AOB=∠AOC=90°，∠OAC+∠OAB=90°，∠OAC+∠OCA=90°，

∴∠OCA=∠OAB，

∴ΔAOC∽ΔBOA

∴，

解得：OC=1

∴C（-1，0）

設拋物線的表達式為：，得，

解得，

∴拋物線的表達式為：

（2）過M點作MN⊥x軸，交直線AB于D點

設M點的橫坐標為a，則M（a，）、D（a，）

∴

∴

∴

當a=2時，的值最大，則