Question

在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB交AB于點D，將三角板MNP按圖甲的位置擺放，使三角板的一條直角邊MP與AC邊在一條直線上，當另一條直角邊MN恰好經過點B時，易證：BM=CD．

（1）當三角板沿AC方向平移到圖乙的位置（一條直角邊MP仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊MN交BC邊于點E，過點E作EF⊥AB于點F）時，請你猜想線段EF、EM、CD之間的數量關系，并證明你的猜想；
（2）當三角板沿AC方向繼續平移到圖丙所示的位置（線段NM的延長線與BC的延長線交于點E）時，線段EF、EM、CD之間的又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：（1）首先構造直角三角形，進而利用全等三角形的判定得出△EWC≌△CME（AAS），即可得出EF、EM、CD之間的數量關系；
（2）首先構造直角三角形，進而利用全等三角形的判定得出△EWC≌△EMC，即可得出EF、EM、CD之間的數量關系．

解答：解：（1）EF+ME=CD，
理由：過點E作EW⊥CD于點W，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，EW⊥CD，
∴四邊形DFEW是矩形，
∴DW=EF，BD∥WE，
∴∠B=∠WEC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠WEC，
在△EWC和△CME中

∠EMC=∠CWE ∠WEC=∠MCE EC=EC

，
∴△EWC≌△CME（AAS），
∴WC=ME，
∴CD=DW+WC=EF+ME；

（2）EF=ME+CD，
理由：過點C作CW⊥EF于點W，
∵EF⊥AB，CD⊥AB，CW⊥EF，
∴四邊形DFWC是矩形，
∴DC=WF，BA∥WC，
∴∠B=∠1，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠2，
∴∠1=∠2，
在△EWC和△EMC中

∠EWC=∠EMC=90° ∠1=∠2 EC=EC

，
∴△EWC≌△EMC（AAS），
∴WE=ME，
∴EF=FW+WE=CD+ME．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及矩形的性質和等腰三角形的性質等知識，熟練利用相關性質得出對應角之間的關系是解題關鍵．