Question

【題目】在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．動點M、N分別在兩腰AB、AC上（M不與A、B重合，N不與A、C重合），且MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P．

（1）當MN為何值時，點P恰好落在BC上？

（2）當MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數關系式．當x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）當MN=3時，點P恰好落在BC上；（2）當x=4時，y的值最大，最大值是4．

【解析】

（1）連接AP，交MN于O，證△AMN∽△ABC，AO⊥MN，得，求MN即可；（2）過點A作AD⊥BC于D，交MN于O，證△AMN∽△ABC，P⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，利用相似性質得y=S梯形MNFE=（EF+MN）OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）2+4，求函數最值即可.

解：（1）連接AP，交MN于O，

∵將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P，

∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN，

∴，

∵BC=6，

∴MN=3，

∴當MN=3時，點P恰好落在BC上；

（2）過點A作AD⊥BC于D，交MN于O，

∵MN∥BC，

∴AO⊥MN，

∴△AMN∽△ABC，

∴，

∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，BD=BC=3，

∴AD=4，

∴，

∴AO=x，

∴S△AMN=MNAO=xx=x2，

當AO≤AD時，

根據題意得：S△PMN=S△AMN，

∴△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為S△AMN，

∴y=x2，

∴當AO=AD時，即MN=BC=3時，y最小，最小值為3；

當AO＞AD時，

連接AP交MN于O，

則AO⊥MN，

∵MN∥BC，

∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，

∴，，

即：，，

∴AO=x，

∴，

∴EF=2x﹣6，OD=AD﹣AO=4﹣x，

∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）2+4，

∴當x=4時，y有最大值，最大值為4，

綜上所述：當x=4時，y的值最大，最大值是4．