Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG，連結BE、DG．

（1）請你判斷線段BE和DG的關系并證明你的結論；

（2）連接BD、EG、DE，點M、N、P分別是BD、EG、DE的中點，連接MP，PN，MN，請你畫出圖形并判斷△MPN的形狀，說明理由

Answer 1

【答案】（1）BE和DG的關系是：BE=DG；BE⊥DG，證明見解析；（2）△MPN是等腰直角三角形，理由見解析

【解析】分析：（1）根據SAS證明△BEA與△DAG全等，再利用全等三角形的性質證明即可；（2）利用三角形中位線定理證得△MPN是等腰直角三角形；

本題解析：

（1）BE和DG的關系是：BE=DG；BE⊥DG

證明：∵正方形ABCD和正方形AEFG， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE， ∴∠BAE=∠DAG，

∵在△BEA與△DAG中，

∴△BEA≌△DAG（SAS）；∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，

∴∠BOD=∠BAD=90°，

∴BE⊥DG；

（2）證明：如圖， 由三角形中位線定理可得：MP∥BE，MP= BE， PN∥DG，PN=DG，

∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，

即△MPN是等腰直角三角形；