Question

【題目】四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是什么，并證明你的結論．

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形；并利用你給的條件加以證明．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形.

【解析】

（1）連接AC和BD，根據中位線知識得EH∥FG，EF∥HG，從而證明四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）當AC⊥BD時，可證EH⊥HG，從而證明四邊形EFGH為矩形.

解：（1）連接AC，BD，

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，

∴EH∥FG，，EF∥HG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形，理由如下：

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，

∴EH∥FG，，EF∥HG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

∴平行四邊形EFGH是矩形.