Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5cm，Rt△EFG中，∠G=90°，F(xiàn)G=4cm，EG=3cm，且點(diǎn)B、F、C、G在直線l上，△EFG由F、C重合的位置開(kāi)始，以1cm/秒的速度沿直線l按箭頭所表示的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)△EFG運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)E分別運(yùn)動(dòng)到CD上和AB上的時(shí)間；
（2）設(shè)x（秒）后，△EFG與正方形ABCD重合部分的面積為y（cm²），求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在下面的直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出0≤x≤2時(shí)中函數(shù)的大致圖象；如果以O(shè)為圓心的圓與該圖象交于點(diǎn)P（x，

8

9

），與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左側(cè)），求∠PAB的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)動(dòng)到CD的路程為FG長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)到AB的路程長(zhǎng)為5+4=9，時(shí)間=路程÷速度
（2）應(yīng)根據(jù)時(shí)間不同得到的重合部分為：沒(méi)有完全進(jìn)入正方形時(shí)的三角形；整個(gè)△EFG的面積；沒(méi)有完全離開(kāi)時(shí)的梯形．
（3）列表，描點(diǎn)，連線，把縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可求得P坐標(biāo)．可求得∠POB的正切值，得到∠POB的度數(shù)．利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可求得∠PAB的度數(shù)．

解答：解：（1）∵FG=4，設(shè)E到CD上的時(shí)間為t₁，
∴t₁=

4

1

=4（秒）．
設(shè)E到AB上的時(shí)間為t₂，
∴t₂=

BC+FG

1

=9（秒）．（1分）

（2）①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，設(shè)EF交CD于K，
∵△FCK∽△FGE，
∴

x

4

=

CK

3

，
∴CK=

3

4

x．
∴y=

1

2

•x•

3

4

x=

3

8

x²．（2分）
②當(dāng)4＜x≤5時(shí)，
y=S_△FGE=

1

2

×4×3=6．（3分）
③當(dāng)5＜x≤9時(shí)，y=6-

3

8

（x-5）²．（4分）
∴y=

3 8 x2，0≤x≤4 6，4＜x≤5 6- 3 8 (x-5)2，5＜x≤9 0．x＞9

(5分)．

（3）列表并畫(huà)圖．（正確畫(huà)出大致圖象就可得分）（6分）
∵點(diǎn)P（x，

8

9

）在函數(shù)圖象上，
∴

3

8

x²=

8

9

．
解得x₁=

8 3

9

，x₂=-

8 3

9

（舍去）．
∴P（

8 3

9

，

8

9

）．
∴tan∠POB=

8 9

8 3 9

=

3

3

（7分）
∴POB=30度．
∴∠PAB=15度．（8分）

點(diǎn)評(píng)：注意運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不同時(shí)間出現(xiàn)的不同形狀，用到的知識(shí)點(diǎn)為：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半