Question

（2008•威海）如圖，點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數y=的圖象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數表達式；
（3）在平面直角坐標系中，點P的坐標為（5，0），點Q的坐標為（0，3），把線段PQ向右平移4個單位，然后再向上平移2個單位，得到線段P₁Q₁，則點P₁的坐標為______，點Q₁的坐標為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把A、B兩點的坐標代入解析式中就可以得到關于m的方程，解方程即可；
（2）存在兩種情況：當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時和當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時．無論哪種情況都可以利用平移知識求出M、N的坐標，然后利用待定系數法確定直線MN的解析式；
（3）這個問題比較簡單，直接根據平移過程可以得到P₁，Q₁的坐標．
解答：解：（1）由題意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1），解得m=3，
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=4×3=12；

（2）存在兩種情況，如圖：
①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，設M₁點坐標為（x₁，0），N₁點坐標為（0，y₁），
∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，
∴線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到的（也可看作向下平移2個單位，再向左平移3個單位得到的），
∵A點坐標為（3，4），B點坐標為（6，2），
∴N₁點坐標為（0，4-2），即N₁（0，2），
M₁點坐標為（6-3，0），即M₁（3，0），
設直線M₁N₁的函數表達式為y=k₁x+2，把x=3，y=0代入，解得k₁=-，
∴直線M₁N₁的函數表達式為y=-x+2；

②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，設M₂點坐標為（x₂，0），N₂點坐標為（0，y₂），
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂，
∴線段M₂N₂與線段N₁M₁關于原點O成中心對稱，
∴M₂點坐標為（-3，0），N₂點坐標為（0，-2），
設直線M₂N₂的函數表達式為y=k₂x-2，
把x=-3，y=0代入，解得k₂=-，
∴直線M₂N₂的函數表達式為y=-x-2，
∴直線MN的函數表達式為y=-x+2或y=-x-2；

（3）根據題意P點坐標（5+4，0+2）即（9，2），同理得Q（4，5）．
點評：此題主要考查了利用待定系數法確定一次函數的解析式，反比例函數解析式，也利用了坐標平移的知識．