Question

（2010•泰興市模擬）如圖，反比例函數y=的圖象與二次函數y=-x²+bx+c的圖象在第一象限內相交A、B兩點，A、B兩點的縱坐標分別為1，3，且AB=2
（1）求反比例函數的解析式；
（2）求二次函數的解析式；
（3）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出A、B兩點的坐標，根據兩點都在反比例函數的圖象上，可找出兩坐標之間的關系，由AB兩點之間的距離可求出K的值，從而求出其解析式；
（2）根據（1）中所求A，B兩點的坐標，分別代入二次函數的解析式即可求出b、c的值，從而求出二次函數的解析式；
（3）設出M，N兩點的坐標，由A，B兩點的坐標可求出過A，B兩點直線的解析式，根據其解析式可設出過M，N兩點的直線解析式，找出兩點坐標與的關系，再根據平行四邊形的性質即可求出未知數的值從而求出其解析式．
解答：（1）解：∵A、B兩點都在反比例函數y=的圖象上，兩點的縱坐標分別為1，3，
故可設A（x₁，1）B（x₂，3），分別代入反比例函數的解析式為k=x₁，k=3x₂，
解得x₁=3x₂，
由AB=2，
可得（x₁-x₂）²+（1-3）²=（2）²，x₂=±2，
因為函數圖象在第一象限，
故x₂=2，k=3x₂=6，
∴該反比例函數的解析式為：
y=；（3分）

（2）由（1）可知，A（6，1），B（2，3），代入二次函數的解析式，
得，
解得，
故此二次函數的解析式為：y=-x²+x-8；（2分）

（3）解：設M（x，0），N（0，y），過A、B兩點的直線解析式為y=kx+b，
把A、B兩點坐標代入得，
解得k=-．
則設經過M、N兩點的直線解析式為y=-x+b，
把M（x，0），N（0，y）代入得y=b，x=2b，
∵MN=AB，即x²+y²=（2）²，即b²=4，b=±2，
故過M，N兩點的直線解析式為：y=-x+2或y=-x-2．（4分）
點評：本題考查的是一次函數，反比例函數及二次函數圖象上點的坐標特點，涉及面較廣，但難度適中．