Question

啟明公司生產某種產品，每件產品成本是3元，售價是4元，年銷售量為10萬件．為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告，根據經驗，每年投入的廣告費是x（萬元）時，產品的年銷售量是原銷售量的y倍，且y=-

x2

10

+

7

10

x+

7

10

，如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費：
（1）試寫出年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）的函數關系式，并計算廣告費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大，最大年利潤是多少萬元？
（2）把（1）中的最大利潤留出3萬元作廣告，其余的資金投資新項目，現有6個項目可供選擇，各項目每股投資金額和預計年收益如下表：

項目	A	B	C	D	E	F
每股（萬元）	5	2	6	4	6	8
收益（萬元）	0.55	0.4	0.6	0.5	0.9	1

如果每個項目只能投一股，且要求所有投資項目的收益總額不得低于1.6萬元，問有幾種符合要求的投資方式？寫出每種投資方式所選的項目．

Answer 1

分析：（1）已知了年銷售量，那么可根據“產品的年銷售量是原銷售量的y倍”，可用x表示出年銷售總量，然后根據年銷售總量-成本-廣告費=利潤，列出關于S與x的函數關系式．然后根據得出的函數的性質求出S的最大值．
（2）根據（1）中得出的利潤額，就能求出除去廣告費用后的投資額，然后根據6中股票的單價，找出符合條件的方案即可．

解答：解：（1）S=10×（-

x2

10

+

7

10

x+

7

10

）×（4-3）-x=-x²+6x+7
即S=-（x-3）²+16
因此：當x=3時Smax=16．
∴當廣告費是3萬元時，公司獲得的最大年利潤是16萬元．

（2）用于再投資的資金是16-3=13（萬元）
經分析，有兩種投資方式符合要求．
一種是取A、B、E各一股，投入資金為5+2+6=13（萬元）
收益為0.55+0.4+0.9=1.85（萬元）＞1.6（萬元）
另一種是取B、D、E各一股，投入資金為2+4+6=12（萬元）＜13（萬元）
收益為0.4+0.5+0.9=1.8（萬元）＞1.6（萬元）．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，根據題意得出關于S與x的函數關系式是解題的關鍵．求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好．