Question

拋物線y=ax²+bx+3經過點A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，在（2）的條件下，延長DP交x軸于點F，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段DF上一點，當△BDC的面積最大時，若∠MNC=90°，請直接寫出實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得：
，
解得：，
故拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）令x=0，則y=3，即C（0，3）．
設直線BC的解析式為y=kx+b′，
則，解得：，
故直線BC的解析式為y=-x+3．
設P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB=PD•a+PD•（3-a）=PD•3=（-a²+3a）=-（a-）²+，
∴當a=時，△BDC的面積最大，此時P（，）；

（3）將x=代入y=-x²+2x+3，得y=-（）²+2×+3=，
∴點D的坐標為（，）．
過點C作CG⊥DF，則CG=．
①點N在DG上時，點N與點D重合時，點M的橫坐標最大．
∵∠MNC=90°，∴CD²+DM²=CM²，
∵C（0，3），D（，），M（m，0），
∴（-0）²+（-3）²+（m-）²+（0-）²=（m-0）²+（0-3）²，
解得m=．
∴點M的坐標為（，0），
即m的最大值為；
②點N在線段GF上時，設GN=x，則NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
又∵∠NGC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴=，即=，
整理得，MF=-x²+2x=-（x-）²+，
∴當x=時（N與P重合），MF有最大值，
此時M與O重合，
∴M的坐標為（0，0），
∴m的最小值為0，
故實數m的變化范圍為0≤m≤．
分析：（1）由y=ax²+bx+3經過點A（-1，0），B（3，0），利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令x=0，求得點C的坐標，然后設直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數法求得直線BC的解析式為y=-x+3，再設P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），求出PD的長，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，得到S_△BDC=-（a-）²+，利用二次函數的性質，即可求得當△BDC的面積最大時，點P的坐標；
（3）將x=代入拋物線解析式y=-x²+2x+3求出點P的縱坐標，過點C作CG⊥DF，然后分①點N在DG上時，點N與點D重合時，點M的橫坐標最大，然后根據勾股定理得出CD²+DM²=CM²，列出關于m的方程，解方程求出m的最大值；②點N在線段GF上時，設GN=x，然后表示出NF，根據同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后證明△NCG和△MNF相似，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式用x表示出MF，再根據二次函數的最值問題求出y的最大值，然后求出MO，從而得到點M的坐標，求出m的最小值．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、三角形的面積、相似三角形的判定與性質、二次函數的最值、勾股定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．