Question

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，點E是邊AD上一點，連結CE，將△CDE繞點C旋轉，當CD落到對角線AC上時，點E恰與圓心O重合，已知AE＝6，則下列結論不正確的是（　　）

A. BC+DE＝ACB. ⊙O 的半徑是2

C. ∠ACB＝2∠DCED. AE＝CE

Answer 1

【答案】D

【解析】

⊙O是△ABC的內切圓，設半徑為r，切點分別為F、G、H，連接OG、OH，則四邊形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋轉的性質得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，選項A、B、C正確；由勾股定理得：CE＝，選項D不正確．

解：⊙O是△ABC的內切圓，設半徑為r，切點分別為F、G、H，連接OG、OH，如圖：

則四邊形BGOH是正方形，

∴OG＝OG＝BG＝BH＝r，

由旋轉的性質得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，

∴∠ACB＝2∠DCE，

∵BC＝AD，

∴AB＝CD＝CF＝AE＝6，

由切線長定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，

∴AC＝AF+CF＝12﹣r，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，

解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10，

∴BC+DE＝AC，⊙O 的半徑是2，

所以選項A、B、C正確；

由勾股定理得：，選項D不正確；

故選：D．