Question

如圖所示．某校計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進行生態環境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個頂點H、G分別在邊AB、AC上．現計劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．

（1）當FG長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？
（2）當矩形EFGH的邊FG為多少米時，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？

Answer 1

（1）40；（2）FG=60時，△ABC空地改造總投資最小，最小值為26400．

解析試題分析：（1）可利用相似分別表示出相應的三角形的底與高，讓面積相等即可；
（2）把相應的總投資用含x的代數式表示出后，求出二次函數的最值即可．
試題解析：（1）設FG=x米，則AK=（80﹣x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：，∴HG=，BE+FC=120﹣（）=，∴，解得．∴當FG的長為40米時，種草的面積和種花的面積相等．
（2）設改造后的總投資為W元．
則W=
=，
∵二次項系數6＞0，0＜x≤80，∴當x=20時，W_最小=26400．
答：當矩形EFGH的邊FG長為20米時，空地改造的總投資最小，最小值為26400元．
考點：1．二次函數的應用；2．矩形的性質；3．相似三角形的應用．