Question

【題目】(1)問題發現

如圖1,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一條直線上.

填空:線段AD,BE之間的關系為 .

(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,請判斷AD,BE的關系,并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,線段PA=3,點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AC,隨著點B的位置的變化,直接寫出PC的范圍.

Answer 1

【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3≤PC≤5+3．

【解析】

（1）根據等腰三角形性質證△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延長BE交AD于點F，由垂直定義得AD⊥BE．

（2）根據等腰三角形性質證△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定義得∠OHB=90°，AD⊥BE；

（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，PC=BE，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE；當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3≤BE≤5+3.

（1）結論：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如圖1中，

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，

∠ACB=∠ACD=90°，

在Rt△ACD和Rt△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠EBC=∠CAD

延長BE交AD于點F，

∵BC⊥AD，

∴∠EBC+∠CEB=90°，

∵∠CEB=AEF，

∴∠EAD+∠AEF=90°，

∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．

∴AD=BE，AD⊥BE．

故答案為AD=BE，AD⊥BE．

（2）結論：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如圖2中，設AD交BE于H，AD交BC于O．

∵△ACB與△DCE均為等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴ACD=∠BCE，

在Rt△ACD和Rt△BCE中
，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，

∴AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE．

（3）如圖3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，則易證△APE≌△ACP，

∴PC=BE，

圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=5-3，

圖3-2中，當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3，

∴5-3≤BE≤5+3，

即5-3≤PC≤5+3．