Question

【題目】閱讀材料：

我們經常通過認識一個事物的局部或其特殊類型，來逐步認識這個事物；比如我們通過學習特殊的四邊形，即平行四邊形（繼續學習它們的特殊類型如矩形、菱形等）來逐步認識四邊形；

我們對課本里特殊四邊形的學習，一般先學習圖形的定義，再探索發現其性質和判定方法，然后通過解決簡單的問題鞏固所學知識；

請解決以下問題：

如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”；

⑴寫出箏形的兩個性質（定義除外）；

⑵寫出箏形的兩個判定方法（定義除外），并選出一個進行證明．

Answer 1

【答案】解：（1）

性質1：只有一組對角相等（或者∠B＝∠D，∠A≠∠C）； …………………………1分

性質2：只有一條對角線平分對角； ……………………………………………………2分

性質有如下參考選項：

性質3：兩條對角線互相垂直，其中只有一條被另一條平分；

性質4：兩組對邊都不平行．

（2）判定方法1：只有一條對角線平分對角的四邊形是箏形；…………………………4分

判定方法2：兩條對角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形；…………………6分

判定方法有如下參考選項：

判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；

判定方法4：AB＝CD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；

判定方法5：AC⊥BD， AB＝CD，∠A≠∠C．

判定方法1的證明：

已知：在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠A和∠C，對角線BD不平分∠B和∠D．

求證：四邊形ABCD是箏形．

證明：∵∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC．

∴AB＝CD，CB＝CD，①…………………………………………………………………8分

易知AC⊥BD．

又∵∠ABD≠∠CBD，

∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC．②……………………………………………………10分

由①、②知四邊形ABCD是箏形．……………………………………………………11分

判定方法2的證明：

AC⊥BD，（不妨）BE＝DE→AB＝CD，CB＝CD．AE≠CE→AB≠BC．

判定方法3的證明：

若B、D不是關于AC對稱，則有∠ABD＜∠ADB，∠CBD＜∠CDB（或反之）→與∠B＝∠D矛盾→B、D關于AC對稱→AB＝CD，CB＝CD． ∠A≠∠CAE→∠BAC≠∠BCA→AB≠BC．

判定方法4的證明：

AB＝CD→∠ABD＝∠ADB（結合∠B＝∠D）→∠CBD＝∠CDB →CB＝CD．

以下同判定方法3．

判定方法5的證明：對照3和4 的證明．

其他判定方法及證明參照給分．

【解析】略