Question

【題目】如圖，P是正三角形ABC內的一點，且PA=6，PB=8，PC=10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB．

（1）求點P與點P′之間的距離；
（2）求∠APB的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接PP′，由題意可知BP′=PC=10，AP′=AP，

∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，

所以∠PAP′=60度．故△APP′為等邊三角形，

所以PP′=AP=AP′=6

（2）解：利用勾股定理的逆定理可知：

PP′2+BP2=BP′2，所以△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°

可求∠APB=90°+60°=150°

【解析】（1）由已知△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋轉角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′為等邊三角形，即可求得PP′；（2）由△APP′為等邊三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度數．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的逆定理和旋轉的性質的相關知識點，需要掌握如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．