Question

如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點E， 延長BC到點F，使FC
＝EC，連結DF交BE的延長線于點H，連結OH交DC于點G，連結HC．則以下四個結論中正確結論
的個數為（    ） 
①OH＝BF； ②∠CHF＝45°； ③GH＝BC；④DH2＝HE·HB
A. 1個        B. 2個        C. 3個         D. 4個

Answer 1

C

作EJ⊥BD于J，連接EF

①∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF，OH是△DBF的中位線∴OH∥BF∴OH=BF
②∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位線，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分線，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正確；
③∵OH是△BFD的中位線，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE
∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故此結論不成立；
④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分線，∴∠DBH=22.5°，由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，∵∠BHD=∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴∴DH=HE•HB，故④成立；
所以①②④正確．故選C．