Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，點E是AC上一點，連接BE，且∠BEC=50°，D為點B關于直線AC的對稱點，連接CD，將線段EB繞點E順時針旋轉40°得到線段EF，連接DF.

（1）請你在下圖中補全圖形；

（2）請寫出∠EFD的大小，并說明理由；

（3）連接CF,求證：DF=CF.

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）60°；理由見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）連接ED，根據對稱性質可得：ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°，再根據旋轉性質可得：BE=EF，∠BEF=40°，從而得出EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°，即可判定△EFD為等邊三角形，從而求出∠EFD的大小；

（3）連接BF并延長交DC于G，利用等邊對等角求出∠BCA，根據對稱的性質可得：CB=CD，∠BCG=2∠BAC=2∠DCA=60°,再求出∠CBG的度數，從而可判定BG⊥CD，再根據30°所對的直角邊是斜邊的一半，即可證出G是CD的中點，從而得到BG垂直平分CD，根據垂直平分線的性質即可證DF=CF.

補全圖形如下所示：

（2）連接ED，

∵D為點B關于直線AC的對稱點

∴ED=EB，∠BEC=∠DEC=50°

∵EB繞點E順時針旋轉40°得到線段EF

∴BE=EF，∠BEF=40°

∴EF=ED，∠FED=∠BEC＋∠DEC－∠BEF=60°

∴△EFD為等邊三角形

∴∠EFD=60°

（3）連接BF并延長交DC于G

∵AB=AC，∠ABC=120°

∴∠A=∠BCA=（180°－∠ABC）=30°

∵D為點B關于直線AC的對稱點

∴CB=CD，∠BCG=2∠BAC=2∠DCA=60°

∵BE=EF，∠BEF=40°

∴∠EBF=∠EFB=（180°－∠BEF）=70°

∠EBC=180°－∠BEC－∠BCE=100°

∴∠CBG=∠EBC－∠EBF=30°

∴∠BGC=180°－∠CBG－∠BCG=90°

∴BG⊥CD，CG=BC=CD

∴G為CD的中點

∴BG垂直平分CD

∴DF=CF.