Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx（a＜0）的圖象過坐標原點O，與x軸的負半軸交于點A，過A點的直線與y軸交于B，與二次函數的圖象交于另一點C，且C點的橫坐標為﹣1，AC：BC=3：1．

（1）求點A的坐標；
（2）設二次函數圖象的頂點為F，其對稱軸與直線AB及x軸分別交于點D和點E，若△FCD與△AED相似，求此二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，過點C作CM∥OA交y軸于M．

∵AC：BC=3：1，

∴ = ．

∵CM∥OA，

∴△BCM∽△BAO，

∴ = = ，

∴OA=4CM=4，

∴點A的坐標為（﹣4，0）；

（2）

解：∵二次函數y=ax2+bx（a＜0）的圖象過A點（﹣4，0），

∴16a﹣4b=0，

∴b=4a，

∴y=ax2+4ax，對稱軸為直線x=﹣2，

∴F點坐標為（﹣2，﹣4a）．

設直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，

得﹣4k+n=0，

∴n=4k，

∴直線AB的解析式為y=kx+4k，

∴B點坐標為（0，4k），D點坐標為（﹣2，2k），C點坐標為（﹣1，3k）．

∵C（﹣1，3k）在拋物線y=ax2+4ax上，

∴3k=a﹣4a，

∴k=﹣a．

∵△AED中，∠AED=90°，

∴若△FCD與△AED相似，則△FCD是直角三角形，

∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°，

∴△FCD∽△AED．

∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，

∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，

∴FC=CD，

∴△FCD是等腰直角三角形，

∴△AED是等腰直角三角形，

∴∠DAE=45°，

∴∠OBA=45°，

∴OB=OA=4，

∴4k=4，

∴k=1，

∴a=﹣1，

∴此二次函數的關系式為y=﹣x2﹣4x．

【解析】（1）過點C作CM∥OA交y軸于M，則△BCM∽△BAO，根據相似三角形對應邊成比例得出 = ，即OA=4CM=4，由此得出點A的坐標為（﹣4，0）；（2）先將A（﹣4，0）代入y=ax2+bx，化簡得出b=4a，即y=ax2+4ax，則頂點F（﹣2，﹣4a），設直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，化簡得n=4k，即直線AB的解析式為y=kx+4k，則B點（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在拋物線y=ax2+4ax上，得出3k=a﹣4a，化簡得到k=﹣a．再由△FCD與直角△AED相似，則△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根據兩點之間的距離公式得出FC2=CD2=1+a2 ， 得出△FCD是等腰直角三角形，則△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形內角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，進而得到此二次函數的關系式為y=﹣x2﹣4x．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．