Question

（2013年浙江義烏4分）如圖，直線l₁⊥x軸于點A（2，0），點B是直線l₁上的動點．直線l₂：y=x+1交l₁于點C，過點B作直線l₃垂直于l₂，垂足為D，過點O，B的直線l₄交l ₂于點E．當直線l₁，l₂，l₃能圍成三角形時，設該三角形面積為S₁，當直線l₂，l₃，l₄能圍成三角形時，設該三角形面積為S₂．

（1）若點B在線段AC上，且S₁=S₂，則B點坐標為      ；

（2）若點B在直線l₁上，且S₂=S₁，則∠BOA的度數為      ．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，0）；（2）15°或75°。

【解析】（1）設B的坐標是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形。

∵，∴。

∴。

設直線l₄的解析式是y=kx，則2k=m，解得：。        

∴直線l₄的解析式是。

根據題意得：，解得：。

∴E的坐標是（，）。

∴。

∴。

當S₁=S₂時，。

解得：m=0，m=4（不在線段AC上，舍去），m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴B的坐標是（2，0）。

（2）分三種情況：

①當點B在線段AC上時（如圖1），

由S₂=S ₁得：。

解得：或（不在線段AC上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴AB=。

在OA上取點F，使OF=BF，連接BF，設OF=BF=x，

則AF=2－x，根據勾股定理，得，解得。

∴sin∠BFA=。∴∠BFA=30°。∴∠BOA=15°。

②當點B在AC延長線上時（如圖2），

此時，,

由S₂=S ₁得：。

解得：或（不在AC延長線上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴AB=。

在AB上取點G，使BG=OG，連接OG，設BG=OG=x，

則AG=，根據勾股定理，得，解得

∴sin∠OGA=。∴∠OGA =30°。∴∠OBA=15°。∴∠BOA=75°。

③當點B在CA延長線上時（如圖3），

此時，,

由S₂=S ₁得：。

解得： m=3（l₂和l₄重合，舍去）。

∴此時滿足條件的點B不存在。

綜上所述，∠BOA的度數為15°或75°。

考點：一次函數綜合題，單動點問題，直線上點的坐標與方程的關系，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，分類的應用。