Question

（2013年浙江義烏10分）小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換．如圖△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，各頂點坐標分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（， 0），F（，）．

（1）他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉45⁰得到△A₁B₁C．請你寫出點A₁，B₁的坐標，并判斷A₁C和DF的位置關系；

（2）他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉45⁰，發現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上．請你求出符合條件的拋物線解析式；

（3）他們繼續探究，發現將△ABC繞某個點旋轉45，若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標．請你直接寫出點P的所有坐標．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）。

      A₁C和DF的位置關系是平行。

（2）∵△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，

∴①當拋物線經過點D、E時，根據題意可得：，解得。

∴。

②當拋物線經過點D、F時，根據題意可得：，解得。

∴。

③當拋物線經過點E、F時，根據題意可得：，解得。

∴。

（3）在旋轉過程中，可能有以下情形：

①順時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上，如答圖1所示，

易求得點P坐標為（0，）。

②順時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖2所示，

設點B′，C′的橫坐標分別為x₁，x₂，

易知此時B′C′與一、三象限角平分線平行，∴設直線B′C′的解析式為y=x+b。

聯立y=x²與y=x+b得：x²=x+b，即，∴。

∵B′C′=1，∴根據題意易得：，∴，即。

∴，解得。

∴，解得x或。

∵點C′的橫坐標較小，∴。

當時，。

∴P（，）。

③順時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖3所示，

設點C′，A′的橫坐標分別為x₁，x₂．

易知此時C′A′與二、四象限角平分線平行，∴設直線C′A′的解析式為。

聯立y=x²與得：，即，∴。

∵C′A′=1，∴根據題意易得：，∴，即。

∴，解得。

∴，解得x或。

∵點C′的橫坐標較大，∴。

當時，。

∴P（，）。

④逆時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上．

因為逆時針旋轉45°后，直線A′B′與y軸平行，因為與拋物線最多只能有一個交點，故此種情形不存在。

⑤逆時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖4所示，

與③同理，可求得：P（，）。

⑥逆時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖5所示，

與②同理，可求得：P（，）。

綜上所述，點P的坐標為：（0，），（，），P（，，（，）。

【解析】（1）由旋轉性質及等腰直角三角形邊角關系求解。

（2）首先明確△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，然后分三種情況進行討論，分別計算求解。

（3）旋轉方向有順時針、逆時針兩種可能，落在拋物線上的點有點A和點B、點B和點C、點C和點D三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論，避免漏解。

考點：旋轉變換的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，平行線的性質，等腰直角三角形的性質，分類思想的應用。